Raio da circunferência circunscrita de um triângulo isósceles 5-5-6: duas soluções elegantes

Introdução

Neste artigo, vamos explorar como encontrar o raio da circunferência circunscrita de um triângulo isósceles com lados 5 cm, 5 cm e base 6 cm. O vídeo de Rafael Procópia apresenta duas abordagens distintas e claras para resolver esse problema clássico de geometria plana, mostrando como a simetria, o teorema de Pitágoras e até a trigonometria podem levar ao mesmo resultado: o raio da circunferência.

Resumo

Por ser isósceles, a altura traçada a partir do vértice oposto à base também é mediana, cortando a base ao meio. Assim, a base é dividida em dois segmentos de 3 cm, e a altura do triângulo é 4 cm (porque 5^2 = 3^2 + h^2). Esse fato revela um triângulo retângulo 3-4-5, o que ajuda a localizar o centro da circunferência circunscrita no interior do triângulo.

Aplicando o teorema de Pitágoras no pequeno triângulo formado pelo centro, pela meia-base de 3 cm e pela distância até o vértice superior, obtemos a relação: R^2 = 3^2 + (4 − R)^2. Ao expandir e simplificar, cancelando os termos, chegamos a 8R = 25, de modo que o raio é R = 25/8 cm.

Como alternativa elegante, podemos usar uma abordagem trigonométrica. O ângulo no vértice tem senos iguais nos dois triângulos retângulos formados pela altitude; um deles dá sin θ = 4/5. No segundo triângulo, a hipotenusa é 2R e o cateto oposto é 5, logo sin θ = 5/(2R). Igualiando as duas expressões, 4/5 = 5/(2R), obtemos novamente R = 25/8 cm. Essa verificação confirma o resultado de forma consistente.

Opinião e Análise

Opinião do apresentador: ele expressa entusiasmo pela elegância do problema e pela beleza de resolver geometria plana com soluções simples e visuais. Além disso, o vídeo incentiva o engajamento da audiência, compartilhando o desafio e ressaltando a repetição de métodos para consolidar o aprendizado.

Insights e Pontos Fortes

• A simetria do triângulo isósceles facilita o raciocínio, pois a altitude é também mediana e bissetriz.
• A divisão da base em dois segmentos iguais (3 cm cada) transforma o problema em um triângulo retângulo conhecido (3-4-5).
• A aplicação do teorema de Pitágoras em diferentes pontos da construção leva a uma solução direta para o raio.
• Existe uma segunda abordagem baseada em razões trigonométricas (senos), que confirma o mesmo resultado de forma elegante.
• A verificação com uma fórmula alternativa (R = abc/(4K)) pode ser usada como checagem final para validar o valor obtido.